Leysa {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 40, minnsta sameiginlega margfeldi 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Margfaldaðu 10 og 5 til að fá út 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 50 með x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Margfaldaðu -4 og 3 til að fá út -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -12 með 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Dragðu 12 frá -150 til að fá út -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Dragðu 7 frá 4 til að fá út -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Bættu 35x við báðar hliðar.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Sameinaðu 50x og 35x til að fá 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Bættu 35y við báðar hliðar.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Sameinaðu -24y og 35y til að fá 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Bættu 162 við báðar hliðar.

$$85x+11y=-15+162$$

Leggðu saman -15 og 162 til að fá 147.

$$85x+11y=147$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -5 með 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum.

$$6x-10y=21-35$$

Dragðu 35 frá 21 til að fá út -14.

$$6x-10y=-14$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$85x+11y=147$$

Dragðu 11y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$85x=-11y+147$$

Deildu báðum hliðum með 85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{85} sinnum -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Settu \frac{-11y+147}{85} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Leggðu -\frac{66y}{85} saman við -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Dragðu \frac{882}{85} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{916}{85}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{518}{229}$$

Skiptu \frac{518}{229} út fyrir y í x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Margfaldaðu -\frac{11}{85} sinnum \frac{518}{229} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Leggðu \frac{147}{85} saman við -\frac{5698}{19465} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{329}{229}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 40, minnsta sameiginlega margfeldi 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Margfaldaðu 10 og 5 til að fá út 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 50 með x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Margfaldaðu -4 og 3 til að fá út -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -12 með 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Dragðu 12 frá -150 til að fá út -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Dragðu 7 frá 4 til að fá út -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Bættu 35x við báðar hliðar.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Sameinaðu 50x og 35x til að fá 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Bættu 35y við báðar hliðar.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Sameinaðu -24y og 35y til að fá 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Bættu 162 við báðar hliðar.

$$85x+11y=-15+162$$

Leggðu saman -15 og 162 til að fá 147.

$$85x+11y=147$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -5 með 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum.

$$6x-10y=21-35$$

Dragðu 35 frá 21 til að fá út -14.

$$6x-10y=-14$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 40, minnsta sameiginlega margfeldi 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Margfaldaðu 10 og 5 til að fá út 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 50 með x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Margfaldaðu -4 og 3 til að fá út -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -12 með 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Dragðu 12 frá -150 til að fá út -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Dragðu 7 frá 4 til að fá út -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Bættu 35x við báðar hliðar.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Sameinaðu 50x og 35x til að fá 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Bættu 35y við báðar hliðar.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Sameinaðu -24y og 35y til að fá 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Bættu 162 við báðar hliðar.

$$85x+11y=-15+162$$

Leggðu saman -15 og 162 til að fá 147.

$$85x+11y=147$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -5 með 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum.

$$6x-10y=21-35$$

Dragðu 35 frá 21 til að fá út -14.

$$6x-10y=-14$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Til að gera 85x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Einfaldaðu.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Dragðu 510x-850y=-1190 frá 510x+66y=882 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Leggðu 510x saman við -510x. Liðirnir 510x og -510x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$66y+850y=882+1190$$

Leggðu 66y saman við 850y.

$$916y=882+1190$$

Leggðu 882 saman við 1190.

$$916y=2072$$

Deildu báðum hliðum með 916.

$$y=\frac{518}{229}$$

Skiptu \frac{518}{229} út fyrir y í 6x-10y=-14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

Margfaldaðu -10 sinnum \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Leggðu \frac{5180}{229} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{329}{229}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$