Leysa {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Dragðu 4 frá -5 til að fá út -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Bættu 9 við báðar hliðar.

$$2x+3y=-1+9$$

Leggðu saman -1 og 9 til að fá 8.

$$2x+3y=8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=8$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Settu -\frac{3y}{2}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{18}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Leggðu 4 saman við -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Dragðu 4 frá -5 til að fá út -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Bættu 9 við báðar hliðar.

$$2x+3y=-1+9$$

Leggðu saman -1 og 9 til að fá 8.

$$2x+3y=8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Dragðu 4 frá -5 til að fá út -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Bættu 9 við báðar hliðar.

$$2x+3y=-1+9$$

Leggðu saman -1 og 9 til að fá 8.

$$2x+3y=8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Til að gera 2x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Einfaldaðu.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Dragðu -2x+2y=10 frá -2x-3y=-8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-2y=-8-10$$

Leggðu -3y saman við -2y.

$$-5y=-8-10$$

Leggðu -8 saman við -10.

$$-5y=-18$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir y í -x+y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Dragðu \frac{18}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=\frac{7}{5}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$