Leysa {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Sameinaðu 7y og 3y til að fá 10y.

$$2x+10y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Bættu 2x við báðar hliðar.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Sameinaðu 2x og 2x til að fá 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Bættu 1 við báðar hliðar.

$$4x+5y=4+1$$

Leggðu saman 4 og 1 til að fá 5.

$$4x+5y=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+10y=0$$

Dragðu 10y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-10y$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -10y.

$$x=-5y$$

Settu -5y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum -5y.

$$-20y+5y=5$$

Leggðu -20y saman við 5y.

$$-15y=5$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Skiptu -\frac{1}{3} út fyrir y í x=-5y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Sameinaðu 7y og 3y til að fá 10y.

$$2x+10y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Bættu 2x við báðar hliðar.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Sameinaðu 2x og 2x til að fá 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Bættu 1 við báðar hliðar.

$$4x+5y=4+1$$

Leggðu saman 4 og 1 til að fá 5.

$$4x+5y=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Sameinaðu 7y og 3y til að fá 10y.

$$2x+10y=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Bættu 2x við báðar hliðar.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Sameinaðu 2x og 2x til að fá 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Bættu 1 við báðar hliðar.

$$4x+5y=4+1$$

Leggðu saman 4 og 1 til að fá 5.

$$4x+5y=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Einfaldaðu.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Dragðu 8x+10y=10 frá 8x+40y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$40y-10y=-10$$

Leggðu 40y saman við -10y.

$$30y=-10$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Skiptu -\frac{1}{3} út fyrir y í 4x+5y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{20}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$