Leysa {c}{x+2y=1}{-3x+y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y = 1 } \\ { - 3 x + y = - 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=1$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+1$$

Settu -2y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+y=-10.

$$-3\left(-2y+1\right)+y=-10$$

Margfaldaðu -3 sinnum -2y+1.

$$6y-3+y=-10$$

Leggðu 6y saman við y.

$$7y-3=-10$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=-7$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-2y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-1\right)+1$$

Margfaldaðu -2 sinnum -1.

$$x=2+1$$

Leggðu 1 saman við 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-2\left(-3\right)}&\frac{1}{1-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}-\frac{2}{7}\left(-10\right)\\\frac{3}{7}+\frac{1}{7}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

Til að gera x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3x-3\times 2y=-3,-3x+y=-10$$

Einfaldaðu.

$$-3x-6y=-3,-3x+y=-10$$

Dragðu -3x+y=-10 frá -3x-6y=-3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x-6y-y=-3+10$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-y=-3+10$$

Leggðu -6y saman við -y.

$$-7y=-3+10$$

Leggðu -3 saman við 10.

$$-7y=7$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í -3x+y=-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x-1=-10$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3x=-9$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-1$$