Leysa {c}{x+2y=-3}{2x-3y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y = - 3 } \\ { 2 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

$$y=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=-3,2x-3y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=-3$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y-3$$

Settu -2y-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=-3.

$$2\left(-2y-3\right)-3y=-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2y-3.

$$-4y-6-3y=-3$$

Leggðu -4y saman við -3y.

$$-7y-6=-3$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7y=3$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-\frac{3}{7}$$

Skiptu -\frac{3}{7} út fyrir y í x=-2y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-\frac{3}{7}\right)-3$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{3}{7}.

$$x=\frac{6}{7}-3$$

Leggðu -3 saman við \frac{6}{7}.

$$x=-\frac{15}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{15}{7},y=-\frac{3}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=-3,2x-3y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-3\right)+\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\left(-3\right)-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{15}{7},y=-\frac{3}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=-3,2x-3y=-3$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-3\right),2x-3y=-3$$

Einfaldaðu.

$$2x+4y=-6,2x-3y=-3$$

Dragðu 2x-3y=-3 frá 2x+4y=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+4y+3y=-6+3$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y+3y=-6+3$$

Leggðu 4y saman við 3y.

$$7y=-6+3$$

Leggðu -6 saman við 3.

$$7y=-3$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=-\frac{3}{7}$$

Skiptu -\frac{3}{7} út fyrir y í 2x-3y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\left(-\frac{3}{7}\right)=-3$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{3}{7}.

$$2x+\frac{9}{7}=-3$$

Dragðu \frac{9}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-\frac{30}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{15}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{15}{7},y=-\frac{3}{7}$$