Leysa {c}{a-b=140}{5/100a-4/100b=42}

$$\left\{ \begin{array} { c } { a - b = 140 } \\ { \frac { 5 } { 100 } a - \frac { 4 } { 100 } b = 42 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=3640$$

$$b=3500$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a-b=140,\frac{1}{20}a-\frac{1}{25}b=42$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a-b=140$$

Leggðu b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$a=b+140$$

Settu b+140 inn fyrir a í hinni jöfnunni, \frac{1}{20}a-\frac{1}{25}b=42.

$$\frac{1}{20}\left(b+140\right)-\frac{1}{25}b=42$$

Margfaldaðu \frac{1}{20} sinnum b+140.

$$\frac{1}{20}b+7-\frac{1}{25}b=42$$

Leggðu \frac{b}{20} saman við -\frac{b}{25}.

$$\frac{1}{100}b+7=42$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{100}b=35$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 100.

$$b=3500$$

Skiptu 3500 út fyrir b í a=b+140. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=3500+140$$

Leggðu 140 saman við 3500.

$$a=3640$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3640,b=3500$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a-b=140,\frac{1}{20}a-\frac{1}{25}b=42$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\42\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\42\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{25}}{-\frac{1}{25}-\left(-\frac{1}{20}\right)}&-\frac{-1}{-\frac{1}{25}-\left(-\frac{1}{20}\right)}\\-\frac{\frac{1}{20}}{-\frac{1}{25}-\left(-\frac{1}{20}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{25}-\left(-\frac{1}{20}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\42\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&100\\-5&100\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 140+100\times 42\\-5\times 140+100\times 42\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3640\\3500\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=3640,b=3500$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$a-b=140,\frac{1}{20}a-\frac{1}{25}b=42$$

Til að gera a og \frac{a}{20} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{20} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$\frac{1}{20}a+\frac{1}{20}\left(-1\right)b=\frac{1}{20}\times 140,\frac{1}{20}a-\frac{1}{25}b=42$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{20}a-\frac{1}{20}b=7,\frac{1}{20}a-\frac{1}{25}b=42$$

Dragðu \frac{1}{20}a-\frac{1}{25}b=42 frá \frac{1}{20}a-\frac{1}{20}b=7 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{20}a-\frac{1}{20}a-\frac{1}{20}b+\frac{1}{25}b=7-42$$

Leggðu \frac{a}{20} saman við -\frac{a}{20}. Liðirnir \frac{a}{20} og -\frac{a}{20} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{1}{20}b+\frac{1}{25}b=7-42$$

Leggðu -\frac{b}{20} saman við \frac{b}{25}.

$$-\frac{1}{100}b=7-42$$

Leggðu 7 saman við -42.

$$-\frac{1}{100}b=-35$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -100.

$$b=3500$$

Skiptu 3500 út fyrir b í \frac{1}{20}a-\frac{1}{25}b=42. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$\frac{1}{20}a-\frac{1}{25}\times 3500=42$$

Margfaldaðu -\frac{1}{25} sinnum 3500.

$$\frac{1}{20}a-140=42$$

Leggðu 140 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{20}a=182$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 20.

$$a=3640$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3640,b=3500$$