Leysa {c}{4x-y=18}{3x+5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = 18 } \\ { 3 x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-y=18$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=y+18$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum y+18.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}$$

Settu \frac{y}{4}+\frac{9}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+5y=2.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}\right)+5y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{y}{4}+\frac{9}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{27}{2}+5y=2$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{27}{2}=2$$

Dragðu \frac{27}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{23}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -2.

$$x=\frac{-1+9}{2}$$

Leggðu \frac{9}{2} saman við -\frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 18+\frac{1}{23}\times 2\\-\frac{3}{23}\times 18+\frac{4}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\times 5y=4\times 2$$

Einfaldaðu.

$$12x-3y=54,12x+20y=8$$

Dragðu 12x+20y=8 frá 12x-3y=54 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-3y-20y=54-8$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-20y=54-8$$

Leggðu -3y saman við -20y.

$$-23y=54-8$$

Leggðu 54 saman við -8.

$$-23y=46$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 3x+5y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+5\left(-2\right)=2$$

Margfaldaðu 5 sinnum -2.

$$3x-10=2$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-2$$