Leysa {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$2y+5x=12$$

Dragðu 5x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-5x+12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Settu -\frac{5x}{2}+6 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

Margfaldaðu -6 sinnum -\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

Leggðu 15x saman við -2x.

$$13x-36=-24$$

Leggðu 36 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$13x=12$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$x=\frac{12}{13}$$

Skiptu \frac{12}{13} út fyrir x í y=-\frac{5}{2}x+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum \frac{12}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Til að gera 2y og -6y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Einfaldaðu.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Dragðu -12y-4x=-48 frá -12y-30x=-72 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

Leggðu -12y saman við 12y. Liðirnir -12y og 12y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-30x+4x=-72+48$$

Leggðu -30x saman við 4x.

$$-26x=-72+48$$

Leggðu -72 saman við 48.

$$-26x=-24$$

Deildu báðum hliðum með -26.

$$x=\frac{12}{13}$$

Skiptu \frac{12}{13} út fyrir x í -6y-2x=-24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Leggðu \frac{24}{13} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=\frac{48}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$