Leysa {c}{2x+3y=5}{x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-3y+5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=6.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}+3y=6$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við 3y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=6$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{7}{3}$$

Skiptu \frac{7}{3} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{7}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-7+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við -\frac{7}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3}&-\frac{3}{2\times 3-3}\\-\frac{1}{2\times 3-3}&\frac{2}{2\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-6\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

Dragðu x+3y=6 frá 2x+3y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-x+3y-3y=5-6$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-x=5-6$$

Leggðu 2x saman við -x.

$$x=5-6$$

Leggðu 5 saman við -6.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í x+3y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-1+3y=6$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$