Leysa {c}{2x+3y=13}{-6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { - 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=13$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+13$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Settu \frac{-3y+13}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -6x+y=11.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

Margfaldaðu -6 sinnum \frac{-3y+13}{2}.

$$9y-39+y=11$$

Leggðu 9y saman við y.

$$10y-39=11$$

Leggðu 39 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10y=50$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 5.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

Leggðu \frac{13}{2} saman við -\frac{15}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-3\left(-6\right)}&\frac{2}{2-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{3}{20}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 13-\frac{3}{20}\times 11\\\frac{3}{10}\times 13+\frac{1}{10}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

Til að gera 2x og -6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-6\times 2x-6\times 3y=-6\times 13,2\left(-6\right)x+2y=2\times 11$$

Einfaldaðu.

$$-12x-18y=-78,-12x+2y=22$$

Dragðu -12x+2y=22 frá -12x-18y=-78 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12x+12x-18y-2y=-78-22$$

Leggðu -12x saman við 12x. Liðirnir -12x og 12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18y-2y=-78-22$$

Leggðu -18y saman við -2y.

$$-20y=-78-22$$

Leggðu -78 saman við -22.

$$-20y=-100$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í -6x+y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-6x+5=11$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6x=6$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=5$$