Leysa {c}{10(x+3y)-2(7x+8y)=-12}{14x-18y-4(x-18y)=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 10 ( x + 3 y ) - 2 ( 7 x + 8 y ) = - 12 } \\ { 14 x - 18 y - 4 ( x - 18 y ) = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{162}{89} = 1\frac{73}{89} \approx 1.820224719$$

$$y=-\frac{30}{89}\approx -0.337078652$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 10 með x+3y.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2 með 7x+8y.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

Sameinaðu 10x og -14x til að fá -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

Sameinaðu 30y og -16y til að fá 14y.

$$-4x+14y=-12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með x-18y.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

Sameinaðu 14x og -4x til að fá 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

Sameinaðu -18y og 72y til að fá 54y.

$$10x+54y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-4x+14y=-12$$

Dragðu 14y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-14y-12$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-14y-12\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -14y-12.

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

Settu \frac{7y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x+54y=0.

$$10\left(\frac{7}{2}y+3\right)+54y=0$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{7y}{2}+3.

$$35y+30+54y=0$$

Leggðu 35y saman við 54y.

$$89y+30=0$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$89y=-30$$

Deildu báðum hliðum með 89.

$$y=-\frac{30}{89}$$

Skiptu -\frac{30}{89} út fyrir y í x=\frac{7}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{2}\left(-\frac{30}{89}\right)+3$$

Margfaldaðu \frac{7}{2} sinnum -\frac{30}{89} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{105}{89}+3$$

Leggðu 3 saman við -\frac{105}{89}.

$$x=\frac{162}{89}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 10 með x+3y.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2 með 7x+8y.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

Sameinaðu 10x og -14x til að fá -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

Sameinaðu 30y og -16y til að fá 14y.

$$-4x+14y=-12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með x-18y.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

Sameinaðu 14x og -4x til að fá 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

Sameinaðu -18y og 72y til að fá 54y.

$$10x+54y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{-4\times 54-14\times 10}&-\frac{14}{-4\times 54-14\times 10}\\-\frac{10}{-4\times 54-14\times 10}&-\frac{4}{-4\times 54-14\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{178}&\frac{7}{178}\\\frac{5}{178}&\frac{1}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{178}\left(-12\right)\\\frac{5}{178}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{162}{89}\\-\frac{30}{89}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 10 með x+3y.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2 með 7x+8y.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

Sameinaðu 10x og -14x til að fá -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

Sameinaðu 30y og -16y til að fá 14y.

$$-4x+14y=-12$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með x-18y.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

Sameinaðu 14x og -4x til að fá 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

Sameinaðu -18y og 72y til að fá 54y.

$$10x+54y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

Til að gera -4x og 10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -4.

$$10\left(-4\right)x+10\times 14y=10\left(-12\right),-4\times 10x-4\times 54y=0$$

Einfaldaðu.

$$-40x+140y=-120,-40x-216y=0$$

Dragðu -40x-216y=0 frá -40x+140y=-120 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-40x+40x+140y+216y=-120$$

Leggðu -40x saman við 40x. Liðirnir -40x og 40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$140y+216y=-120$$

Leggðu 140y saman við 216y.

$$356y=-120$$

Deildu báðum hliðum með 356.

$$y=-\frac{30}{89}$$

Skiptu -\frac{30}{89} út fyrir y í 10x+54y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$10x+54\left(-\frac{30}{89}\right)=0$$

Margfaldaðu 54 sinnum -\frac{30}{89}.

$$10x-\frac{1620}{89}=0$$

Leggðu \frac{1620}{89} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10x=\frac{1620}{89}$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{162}{89}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$