Leysa {c}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+5y=1$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-5y+1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -5y+1.

$$x=5y-1$$

Settu 5y-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x-5y=11.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

Margfaldaðu -2 sinnum 5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

Leggðu -10y saman við -5y.

$$-15y+2=11$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-15y=9$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Skiptu -\frac{3}{5} út fyrir y í x=5y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

Leggðu -1 saman við -3.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Til að gera -x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

Einfaldaðu.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

Dragðu 2x+5y=-11 frá 2x-10y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-5y=-2+11$$

Leggðu -10y saman við -5y.

$$-15y=-2+11$$

Leggðu -2 saman við 11.

$$-15y=9$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Skiptu -\frac{3}{5} út fyrir y í -2x-5y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=8$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$