Leysa {c}{-2a+2b=2}{3a-2b=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 a + 2 b = 2 } \\ { 3 a - 2 b = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=4$$

$$b=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2a+2b=2$$

Dragðu 2b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2a=-2b+2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-2b+2\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -2b+2.

$$a=b-1$$

Settu b-1 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 3a-2b=2.

$$3\left(b-1\right)-2b=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum b-1.

$$3b-3-2b=2$$

Leggðu 3b saman við -2b.

$$b-3=2$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$b=5$$

Skiptu 5 út fyrir b í a=b-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=5-1$$

Leggðu -1 saman við 5.

$$a=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=4,b=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2+2\\\frac{3}{2}\times 2+2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=4,b=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

Til að gera -2a og 3a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$3\left(-2\right)a+3\times 2b=3\times 2,-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$-6a+6b=6,-6a+4b=-4$$

Dragðu -6a+4b=-4 frá -6a+6b=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-6a+6a+6b-4b=6+4$$

Leggðu -6a saman við 6a. Liðirnir -6a og 6a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6b-4b=6+4$$

Leggðu 6b saman við -4b.

$$2b=6+4$$

Leggðu 6 saman við 4.

$$2b=10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$b=5$$

Skiptu 5 út fyrir b í 3a-2b=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$3a-2\times 5=2$$

Margfaldaðu -2 sinnum 5.

$$3a-10=2$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3a=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=4,b=5$$