Leysa ∫ (from 0 to 1) of sqrt{x}-x^2

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { x } - x ^ { 2 }$$

Meta

$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Lausnarskref

Reiknaðu fyrst út óákveðið heildi.

$$\int \sqrt{x}-x^{2}\mathrm{d}x$$

Samþættu samtölu hugtak eftir hugtak.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Þáttaðu fasta hvers hugtaks.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Endurskrifa \sqrt{x} sem x^{\frac{1}{2}}. Frá \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} fyrir k\neq -1, skipta \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x út fyrir \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Einfaldaðu.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Frá \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} fyrir k\neq -1, skipta \int x^{2}\mathrm{d}x út fyrir \frac{x^{3}}{3}. Margfaldaðu -1 sinnum \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}-x^{3}}{3}$$

Ákveðið heildi er stofnfall segðarinnar reiknað út við efra markgildi heildunarinnar dregið frá útreiknuðu stofnfalli við neðra markgildi heildunarinnar.

$$\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{2}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{3}$$