Leysa d/dyleft(cos(y)right)

$$\frac{d}{d y } \left( \cos ( y ) \right)$$

Meta

$$-\sin(y)$$

Skref með skilgreiningu afleiðu

Fyrir fall f\left(x\right) er afleiðan mörk \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} þegar h fer í 0, ef þau mörk eru til staðar.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\cos(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(y+h)-\cos(y)}{h}\right)$$

Nota formúlu summu fyrir kósínus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(y+h)-\cos(y)}{h}$$

Taktu \cos(y) út fyrir sviga.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(y)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(y)\sin(h)}{h}$$

Endurraðaðu markgildinu.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Notaðu staðreyndina að y sé fasti þegar markgildi reiknað sem h fer í 0.

$$\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Markgildið \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} er 1.

$$\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(y)$$

Til að reikna út markgildi \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} skal fyrst margfalda teljara og nefnara með \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Margfaldaðu \cos(h)+1 sinnum \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Notaðu pýþagórska aljöfnu.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Endurraðaðu markgildinu.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Markgildið \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} er 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Notaðu staðreyndina að \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} er samfellt við 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Settu gildið 0 inn í stæðuna \cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(y).

$$-\sin(y)$$

Diffra með hliðsjón af y

$$-\cos(y)$$