Leysa frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Leystu fyrir b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Skref til að leysa rótarjöfnur

Gerðu nefnara \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Íhugaðu \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Hefðu 2 í annað veldi. Hefðu \sqrt{5} í annað veldi.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Dragðu 5 frá 4 til að fá út -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Margfaldaðu 2+\sqrt{5} og 2+\sqrt{5} til að fá út \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} í öðru veldi er 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Leggðu saman 4 og 5 til að fá 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Allt sem deilt er með -1 gefur andstæðu. Til að finna andstæðu 9+4\sqrt{5} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Gerðu nefnara \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Íhugaðu \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Hefðu 2 í annað veldi. Hefðu \sqrt{5} í annað veldi.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Dragðu 5 frá 4 til að fá út -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Margfaldaðu 2-\sqrt{5} og 2-\sqrt{5} til að fá út \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til að stækka \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} í öðru veldi er 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Leggðu saman 4 og 5 til að fá 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Allt sem deilt er með -1 gefur andstæðu. Til að finna andstæðu 9-4\sqrt{5} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Dragðu 9 frá -9 til að fá út -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Sameinaðu -4\sqrt{5} og 4\sqrt{5} til að fá 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Dragðu a frá báðum hliðum.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Að deila með 5 afturkallar margföldun með 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Leystu fyrir a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$