Leysa x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Leystu fyrir x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 21, minnsta sameiginlega margfeldi 7,3.

$$3x+7y=105$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 14.

$$-x+42y=364$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+7y=105$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-7y+105$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Settu -\frac{7y}{3}+35 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Leggðu \frac{7y}{3} saman við 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Leggðu 35 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{133}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=-\frac{7}{3}y+35. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Margfaldaðu -\frac{7}{3} sinnum 9.

$$x=-21+35$$

Leggðu 35 saman við -21.

$$x=14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=9$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 21, minnsta sameiginlega margfeldi 7,3.

$$3x+7y=105$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 14.

$$-x+42y=364$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=14,y=9$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 21, minnsta sameiginlega margfeldi 7,3.

$$3x+7y=105$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 14.

$$-x+42y=364$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Til að gera 3x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Einfaldaðu.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Dragðu -3x+126y=1092 frá -3x-7y=-105 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Leggðu -7y saman við -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Leggðu -105 saman við -1092.

$$-133y=-1197$$

Deildu báðum hliðum með -133.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í -x+42y=364. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+42\times 9=364$$

Margfaldaðu 42 sinnum 9.

$$-x+378=364$$

Dragðu 378 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-14$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=9$$