Leysa frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Meta

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4.936685734$$

Lausnarskref

Stuðull 27=3^{2}\times 3. Endurskrifaðu kvaðratrót margfeldis \sqrt{3^{2}\times 3} sem margfeldi kvaðratróta \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Finndu kvaðratrót 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Gerðu nefnara \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Íhugaðu \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Hefðu 4 í annað veldi. Hefðu \sqrt{3} í annað veldi.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Dragðu 3 frá 16 til að fá út 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Notaðu dreifieiginleikann með því að margfalda hvern lið í 6+3\sqrt{3} með hverjum lið í 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Sameinaðu 6\sqrt{3} og 12\sqrt{3} til að fá 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

\sqrt{3} í öðru veldi er 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Margfaldaðu 3 og 3 til að fá út 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Leggðu saman 24 og 9 til að fá 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$