Leysa frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Meta

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17.94427191$$

Lausnarskref

Gerðu nefnara \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Íhugaðu \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Hefðu 2 í annað veldi. Hefðu \sqrt{5} í annað veldi.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Dragðu 5 frá 4 til að fá út -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Margfaldaðu 2+\sqrt{5} og 2+\sqrt{5} til að fá út \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

\sqrt{5} í öðru veldi er 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Leggðu saman 4 og 5 til að fá 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Allt sem deilt er með -1 gefur andstæðu. Til að finna andstæðu 9+4\sqrt{5} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$-9-4\sqrt{5}$$