Leysa 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Leystu fyrir x

$$x=-1$$

Lausnarskref

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -8,-5,-2,1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), minnsta sameiginlega margfeldi x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 21 með x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 21x+105 með x+8 og sameina svipuð hugtök.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 21 með x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 21x-21 með x+8 og sameina svipuð hugtök.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sameinaðu 21x^{2} og 21x^{2} til að fá 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sameinaðu 273x og 147x til að fá 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Dragðu 168 frá 840 til að fá út 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 21 með x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 21x+42 með x-1 og sameina svipuð hugtök.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sameinaðu 42x^{2} og 21x^{2} til að fá 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sameinaðu 420x og 21x til að fá 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Dragðu 42 frá 672 til að fá út 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 7 með x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 7x+14 með x+5 og sameina svipuð hugtök.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 7x^{2}+49x+70 með x+8 og sameina svipuð hugtök.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Margfaldaðu 21 og -\frac{1}{21} til að fá út -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -1 með x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -x+1 með x+2 og sameina svipuð hugtök.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -x^{2}-x+2 með x+5 og sameina svipuð hugtök.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -x^{3}-6x^{2}-3x+10 með x+8 og sameina svipuð hugtök.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Sameinaðu 7x^{3} og -14x^{3} til að fá -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Sameinaðu 105x^{2} og -51x^{2} til að fá 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Sameinaðu 462x og -14x til að fá 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Leggðu saman 560 og 80 til að fá 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Bættu 7x^{3} við báðar hliðar.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Dragðu 54x^{2} frá báðum hliðum.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Sameinaðu 63x^{2} og -54x^{2} til að fá 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Dragðu 448x frá báðum hliðum.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Sameinaðu 441x og -448x til að fá -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Dragðu 640 frá báðum hliðum.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Dragðu 640 frá 630 til að fá út -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Bættu x^{4} við báðar hliðar.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Endurraðaðu jöfnunni til að setja hana aftur í staðlað form. Raðaðu liðum frá hæsta veldi niður í lægsta.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum -10 og q deilir forystustuðlinum 1. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=1$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 með x-1 til að fá x^{3}+8x^{2}+17x+10. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 10 og q deilir forystustuðlinum 1. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=-1$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu x^{3}+8x^{2}+17x+10 með x+1 til að fá x^{2}+7x+10. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 1 fyrir a, 7 fyrir b og 10 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Leystu jöfnuna x^{2}+7x+10=0 þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=-5 x=-2$$

Fjarlægðu gildin sem breytan getur ekki verið jöfn.

$$x=-1$$

Birta allar fundnar lausnir.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í 1,-5,-2.

$$x=-1$$