Leysa 1/x+40+1/x=1/48

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Leystu fyrir x

$$x=-24$$

$$x=80$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -40,0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 48x\left(x+40\right), minnsta sameiginlega margfeldi x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Sameinaðu 48x og 48x til að fá 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Dragðu 40x frá báðum hliðum.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Sameinaðu 96x og -40x til að fá 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Endurraðaðu margliðunni til að setja hana í staðlað form. Raðaðu liðunum frá hæsta til lægsta veldis.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem -x^{2}+ax+bx+1920. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -1920.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 56.

$$a=80 b=-24$$

Endurskrifa -x^{2}+56x+1920 sem \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right).

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

Taktu -x út fyrir sviga í fyrsta hópi og -24 í öðrum hópi.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-80 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

Leystu x-80=0 og -x-24=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=80 x=-24$$

Skref með annars stigs formúlu

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -40,0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 48x\left(x+40\right), minnsta sameiginlega margfeldi x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Sameinaðu 48x og 48x til að fá 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Dragðu 40x frá báðum hliðum.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Sameinaðu 96x og -40x til að fá 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu -1 inn fyrir a, 56 inn fyrir b og 1920 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Hefðu 56 í annað veldi.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Margfaldaðu 4 sinnum 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Leggðu 3136 saman við 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Finndu kvaðratrót 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-56±104}{-2} þegar ± er plús. Leggðu -56 saman við 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

Deildu 48 með -2.

$$x=-24$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-56±104}{-2} þegar ± er mínus. Dragðu 104 frá -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

Deildu -160 með -2.

$$x=80$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=-24 x=80$$

Skref til að uppfylla ferning

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -40,0, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 48x\left(x+40\right), minnsta sameiginlega margfeldi x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Sameinaðu 48x og 48x til að fá 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x með x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Dragðu 40x frá báðum hliðum.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Sameinaðu 96x og -40x til að fá 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Dragðu 1920 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

Að deila með -1 afturkallar margföldun með -1.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

Deildu 56 með -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

Deildu -1920 með -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Deildu -56, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -28. Leggðu síðan tvíveldi -28 við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Hefðu -28 í annað veldi.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Leggðu 1920 saman við 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Stuðull x^{2}-56x+784. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Einfaldaðu.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Leggðu 28 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=80 x=-24$$