Leysa 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

Skref með annars stigs formúlu

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -1,1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með \left(x-1\right)\left(x+1\right), minnsta sameiginlega margfeldi x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x+1 með 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Sameinaðu x og 2x til að fá 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Leggðu saman -1 og 2 til að fá 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Sameinaðu 3x og -2x til að fá x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu -1 inn fyrir a, 1 inn fyrir b og 1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Hefðu 1 í annað veldi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Leggðu 1 saman við 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} þegar ± er plús. Leggðu -1 saman við \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Deildu -1+\sqrt{5} með -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} þegar ± er mínus. Dragðu \sqrt{5} frá -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Deildu -1-\sqrt{5} með -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -1,1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með \left(x-1\right)\left(x+1\right), minnsta sameiginlega margfeldi x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x+1 með 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Sameinaðu x og 2x til að fá 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Leggðu saman -1 og 2 til að fá 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Sameinaðu 3x og -2x til að fá x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-x^{2}=-1$$

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Að deila með -1 afturkallar margföldun með -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Deildu 1 með -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Deildu -1 með -1.

$$x^{2}-x=1$$

Deildu -1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Leggðu 1 saman við \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Stuðull x^{2}-x+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$