Selesaikan y=x+3text{and}y=-x+3

$$y = x + 3 \text { and } y = - x + 3$$

Cari nilai y, x

$$x=0$$

$$y=3$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi x dari kedua sisi.

$$y-x=3$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan x ke kedua sisi.

$$y+x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$y-x=3,y+x=3$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai y dengan memisahkan y di sisi kiri tanda sama dengan.

$$y-x=3$$

Tambahkan x ke kedua sisi persamaan.

$$y=x+3$$

Ganti x+3 untuk y di persamaan lain, y+x=3.

$$x+3+x=3$$

Tambahkan x sampai x.

$$2x+3=3$$

Kurangi 3 dari kedua sisi persamaan.

$$2x=0$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=0$$

Ganti 0 untuk x dalam y=x+3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=3,x=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi x dari kedua sisi.

$$y-x=3$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan x ke kedua sisi.

$$y+x=3$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$y-x=3,y+x=3$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks y dan x.

$$y=3,x=0$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi x dari kedua sisi.

$$y-x=3$$

Sederhanakan persamaan kedua. Tambahkan x ke kedua sisi.

$$y+x=3$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$y-x=3,y+x=3$$

Kurangi y+x=3 dari y-x=3 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$y-y-x-x=3-3$$

Tambahkan y sampai -y. Istilah y dan -y dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-x-x=3-3$$

Tambahkan -x sampai -x.

$$-2x=3-3$$

Tambahkan 3 sampai -3.

$$-2x=0$$

Bagi kedua sisi dengan -2.

$$x=0$$

Ganti 0 untuk x dalam y+x=3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=3,x=0$$