Selesaikan y=2x-3text{and}5x+2y=30

$$y = 2 x - 3 \text { and } 5 x + 2 y = 30$$

Cari nilai y, x

$$x=4$$

$$y=5$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai y dengan memisahkan y di sisi kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=-3$$

Tambahkan 2x ke kedua sisi persamaan.

$$y=2x-3$$

Ganti 2x-3 untuk y di persamaan lain, 2y+5x=30.

$$2\left(2x-3\right)+5x=30$$

Kalikan 2 kali 2x-3.

$$4x-6+5x=30$$

Tambahkan 4x sampai 5x.

$$9x-6=30$$

Tambahkan 6 ke kedua sisi persamaan.

$$9x=36$$

Bagi kedua sisi dengan 9.

$$x=4$$

Ganti 4 untuk x dalam y=2x-3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y=2\times 4-3$$

Kalikan 2 kali 4.

$$y=8-3$$

Tambahkan -3 sampai 8.

$$y=5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=5,x=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=-3$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks y dan x.

$$y=5,x=4$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=-3$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

Untuk menjadikan y dan 2y yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 2 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-3\right),2y+5x=30$$

Sederhanakan.

$$2y-4x=-6,2y+5x=30$$

Kurangi 2y+5x=30 dari 2y-4x=-6 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$2y-2y-4x-5x=-6-30$$

Tambahkan 2y sampai -2y. Istilah 2y dan -2y dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-4x-5x=-6-30$$

Tambahkan -4x sampai -5x.

$$-9x=-6-30$$

Tambahkan -6 sampai -30.

$$-9x=-36$$

Bagi kedua sisi dengan -9.

$$x=4$$

Ganti 4 untuk x dalam 2y+5x=30. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$2y+5\times 4=30$$

Kalikan 5 kali 4.

$$2y+20=30$$

Kurangi 20 dari kedua sisi persamaan.

$$2y=10$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$y=5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=5,x=4$$