Selesaikan y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Cari nilai y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=-1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai y dengan memisahkan y di sisi kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=-1$$

Tambahkan 2x ke kedua sisi persamaan.

$$y=2x-1$$

Ganti 2x-1 untuk y di persamaan lain, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Tambahkan 2x sampai 2x.

$$4x-1=3$$

Tambahkan 1 ke kedua sisi persamaan.

$$4x=4$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=1$$

Ganti 1 untuk x dalam y=2x-1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y=2-1$$

Tambahkan -1 sampai 2.

$$y=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=1,x=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=-1$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks y dan x.

$$y=1,x=1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=-1$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Kurangi y+2x=3 dari y-2x=-1 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Tambahkan y sampai -y. Suku y dan -y saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-2x-2x=-1-3$$

Tambahkan -2x sampai -2x.

$$-4x=-1-3$$

Tambahkan -1 sampai -3.

$$-4x=-4$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$x=1$$

Ganti 1 untuk x dalam y+2x=3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y+2=3$$

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan.

$$y=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=1,x=1$$