Selesaikan y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Cari nilai y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai y dengan memisahkan y di sisi kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=1$$

Tambahkan 2x ke kedua sisi persamaan.

$$y=2x+1$$

Ganti 2x+1 untuk y di persamaan lain, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Tambahkan 2x sampai x.

$$3x+1=7$$

Kurangi 1 dari kedua sisi persamaan.

$$3x=6$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=2$$

Ganti 2 untuk x dalam y=2x+1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y=2\times 2+1$$

Kalikan 2 kali 2.

$$y=4+1$$

Tambahkan 1 sampai 4.

$$y=5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=5,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=1$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks y dan x.

$$y=5,x=2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=1$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Kurangi y+x=7 dari y-2x=1 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Tambahkan y sampai -y. Istilah y dan -y dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-2x-x=1-7$$

Tambahkan -2x sampai -x.

$$-3x=1-7$$

Tambahkan 1 sampai -7.

$$-3x=-6$$

Bagi kedua sisi dengan -3.

$$x=2$$

Ganti 2 untuk x dalam y+x=7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y+2=7$$

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan.

$$y=5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=5,x=2$$