Selesaikan y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Cari nilai y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi \frac{4}{3}x dari kedua sisi.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai y dengan memisahkan y di sisi kiri tanda sama dengan.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Tambahkan \frac{4x}{3} ke kedua sisi persamaan.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Ganti \frac{-28+4x}{3} untuk y di persamaan lain, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Tambahkan \frac{4x}{3} sampai -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Tambahkan \frac{28}{3} ke kedua sisi persamaan.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{2}{3}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$x=-26$$

Ganti -26 untuk x dalam y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Kalikan \frac{4}{3} kali -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Tambahkan -\frac{28}{3} ke -\frac{104}{3} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$y=-44$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=-44,x=-26$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi \frac{4}{3}x dari kedua sisi.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=8$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks y dan x.

$$y=-44,x=-26$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kurangi \frac{4}{3}x dari kedua sisi.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kurangi 2x dari kedua sisi.

$$y-2x=8$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Kurangi y-2x=8 dari y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Tambahkan y sampai -y. Suku y dan -y saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Tambahkan -\frac{4x}{3} sampai 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Tambahkan -\frac{28}{3} sampai -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{2}{3}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$x=-26$$

Ganti -26 untuk x dalam y-2x=8. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Kalikan -2 kali -26.

$$y+52=8$$

Kurangi 52 dari kedua sisi persamaan.

$$y=-44$$

Sistem kini terselesaikan.

$$y=-44,x=-26$$