Selesaikan x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Cari nilai x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x-y=5$$

Tambahkan y ke kedua sisi persamaan.

$$x=y+5$$

Ganti y+5 untuk x di persamaan lain, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Kalikan -4 kali y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Tambahkan -4y sampai 5y.

$$y-20=7$$

Tambahkan 20 ke kedua sisi persamaan.

$$y=27$$

Ganti 27 untuk y dalam x=y+5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=27+5$$

Tambahkan 5 sampai 27.

$$x=32$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=32,y=27$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=32,y=27$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Untuk menjadikan x dan -4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan -4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Sederhanakan.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Kurangi -4x+5y=7 dari -4x+4y=-20 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Tambahkan -4x sampai 4x. Istilah -4x dan 4x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$4y-5y=-20-7$$

Tambahkan 4y sampai -5y.

$$-y=-20-7$$

Tambahkan -20 sampai -7.

$$-y=-27$$

Bagi kedua sisi dengan -1.

$$y=27$$

Ganti 27 untuk y dalam -4x+5y=7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$-4x+5\times 27=7$$

Kalikan 5 kali 27.

$$-4x+135=7$$

Kurangi 135 dari kedua sisi persamaan.

$$-4x=-128$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$x=32$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=32,y=27$$