Selesaikan x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Cari nilai x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x-3y=7$$

Tambahkan 3y ke kedua sisi persamaan.

$$x=3y+7$$

Ganti 3y+7 untuk x di persamaan lain, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Kalikan 3 kali 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Tambahkan 9y sampai 3y.

$$12y+21=9$$

Kurangi 21 dari kedua sisi persamaan.

$$12y=-12$$

Bagi kedua sisi dengan 12.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam x=3y+7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Kalikan 3 kali -1.

$$x=-3+7$$

Tambahkan 7 sampai -3.

$$x=4$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=4,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=4,y=-1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Untuk menjadikan x dan 3x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Sederhanakan.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Kurangi 3x+3y=9 dari 3x-9y=21 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Tambahkan 3x sampai -3x. Istilah 3x dan -3x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-9y-3y=21-9$$

Tambahkan -9y sampai -3y.

$$-12y=21-9$$

Tambahkan 21 sampai -9.

$$-12y=12$$

Bagi kedua sisi dengan -12.

$$y=-1$$

Ganti -1 untuk y dalam 3x+3y=9. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Kalikan 3 kali -1.

$$3x-3=9$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi persamaan.

$$3x=12$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=4$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=4,y=-1$$