Selesaikan x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Cari nilai x

$$x=6$$

$$x=7$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor x^{2}-13x+42 menggunakan rumus x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diselesaikan.

$$a+b=-13 ab=42$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda yang sama. Karena a+b negatif, a dan b keduanya negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat tersebut yang memberikan 42 produk.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -13.

$$a=-7 b=-6$$

Tulis ulang ekspresi yang difaktorkan \left(x+a\right)\left(x+b\right) menggunakan nilai yang diperoleh.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan x-7=0 dan x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sisi kiri dengan mengelompokkan. Pertama, sisi tangan kiri harus ditulis ulang sebagai x^{2}+ax+bx+42. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diselesaikan.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda yang sama. Karena a+b negatif, a dan b keduanya negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat tersebut yang memberikan 42 produk.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -13.

$$a=-7 b=-6$$

Tulis ulang x^{2}-13x+42 sebagai \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Faktor keluar x di pertama dan -6 dalam grup kedua.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Faktorkan keluar x-7 suku yang sama dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan x-7=0 dan x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 1 dengan a, -13 dengan b, dan 42 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

-13 kuadrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Kalikan -4 kali 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Tambahkan 169 sampai -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Ambil akar kuadrat dari 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Kebalikan -13 adalah 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{13±1}{2} jika ± adalah plus. Tambahkan 13 sampai 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Bagi 14 dengan 2.

$$x=7$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{13±1}{2} jika ± adalah minus. Kurangi 1 dari 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Bagi 12 dengan 2.

$$x=6$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$x=7 x=6$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Kurangi 42 dari kedua sisi persamaan.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Mengurangi 42 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Bagi -13, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{13}{2}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{13}{2} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{13}{2} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Tambahkan -42 sampai \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktorkan x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c merupakan kuadrat sempurna, faktor ini selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sederhanakan.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} ke kedua sisi persamaan.

$$x=7 x=6$$