Selesaikan x+y=7text{and}5x-y=5

$$x + y = 7 \text { and } 5 x - y = 5$$

Cari nilai x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+y=7,5x-y=5$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+y=7$$

Kurangi y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-y+7$$

Ganti -y+7 untuk x di persamaan lain, 5x-y=5.

$$5\left(-y+7\right)-y=5$$

Kalikan 5 kali -y+7.

$$-5y+35-y=5$$

Tambahkan -5y sampai -y.

$$-6y+35=5$$

Kurangi 35 dari kedua sisi persamaan.

$$-6y=-30$$

Bagi kedua sisi dengan -6.

$$y=5$$

Ganti 5 untuk y dalam x=-y+7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-5+7$$

Tambahkan 7 sampai -5.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+y=7,5x-y=5$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{6}\times 5\\\frac{5}{6}\times 7-\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=2,y=5$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+y=7,5x-y=5$$

Untuk menjadikan x dan 5x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 5 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$5x+5y=5\times 7,5x-y=5$$

Sederhanakan.

$$5x+5y=35,5x-y=5$$

Kurangi 5x-y=5 dari 5x+5y=35 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$5x-5x+5y+y=35-5$$

Tambahkan 5x sampai -5x. Istilah 5x dan -5x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$5y+y=35-5$$

Tambahkan 5y sampai y.

$$6y=35-5$$

Tambahkan 35 sampai -5.

$$6y=30$$

Bagi kedua sisi dengan 6.

$$y=5$$

Ganti 5 untuk y dalam 5x-y=5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$5x-5=5$$

Tambahkan 5 ke kedua sisi persamaan.

$$5x=10$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=5$$