Selesaikan x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Cari nilai x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+3y=6$$

Kurangi 3y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-3y+6$$

Ganti -3y+6 untuk x di persamaan lain, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Kalikan 5 kali -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Tambahkan -15y sampai -2y.

$$-17y+30=13$$

Kurangi 30 dari kedua sisi persamaan.

$$-17y=-17$$

Bagi kedua sisi dengan -17.

$$y=1$$

Ganti 1 untuk y dalam x=-3y+6. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-3+6$$

Tambahkan 6 sampai -3.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Untuk menjadikan x dan 5x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 5 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Sederhanakan.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Kurangi 5x-2y=13 dari 5x+15y=30 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Tambahkan 5x sampai -5x. Istilah 5x dan -5x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$15y+2y=30-13$$

Tambahkan 15y sampai 2y.

$$17y=30-13$$

Tambahkan 30 sampai -13.

$$17y=17$$

Bagi kedua sisi dengan 17.

$$y=1$$

Ganti 1 untuk y dalam 5x-2y=13. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$5x-2=13$$

Tambahkan 2 ke kedua sisi persamaan.

$$5x=15$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=1$$