Selesaikan x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Cari nilai x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=-1$$

Kurangi 2y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-2y-1$$

Ganti -2y-1 untuk x di persamaan lain, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Kalikan 2 kali -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Tambahkan -4y sampai -3y.

$$-7y-2=12$$

Tambahkan 2 ke kedua sisi persamaan.

$$-7y=14$$

Bagi kedua sisi dengan -7.

$$y=-2$$

Ganti -2 untuk y dalam x=-2y-1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Kalikan -2 kali -2.

$$x=4-1$$

Tambahkan -1 sampai 4.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Untuk menjadikan x dan 2x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 2 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Sederhanakan.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Kurangi 2x-3y=12 dari 2x+4y=-2 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Tambahkan 2x sampai -2x. Istilah 2x dan -2x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$4y+3y=-2-12$$

Tambahkan 4y sampai 3y.

$$7y=-2-12$$

Tambahkan -2 sampai -12.

$$7y=-14$$

Bagi kedua sisi dengan 7.

$$y=-2$$

Ganti -2 untuk y dalam 2x-3y=12. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Kalikan -3 kali -2.

$$2x+6=12$$

Kurangi 6 dari kedua sisi persamaan.

$$2x=6$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=3,y=-2$$