Selesaikan f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

Diferensial w.r.t. y

$$\cos(y)$$

Langkah Menggunakan Definisi Turunan

Untuk fungsi f\left(x\right), turunan merupakan batasan dari \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} saat h masuk ke 0, jika batasan tersebut ada.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Gunakan Rumus Jumlah untuk Sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Faktor dari \sin(y).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Tulis ulang batasannya.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Gunakan fakta yang menyatakan bahwa y adalah suatu konstanta ketika menghitung batas saat h menuju ke 0.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Batas dari \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} adalah 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

Untuk mengevaluasi batas \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, terlebih dahulu kalikan pembilang dan penyebut dengan \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Kalikan \cos(h)+1 kali \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Gunakan Identitas Phytagoras.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Tulis ulang batasannya.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Batas dari \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} adalah 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Gunakan fakta yang \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} berkelanjutan pada 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Ganti nilai 0 ke dalam ekspresi \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Evaluasi

$$\sin(y)$$