Selesaikan {l}{x+2y=8}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Cari nilai x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=8$$

Kurangi 2y dari kedua sisi persamaan.

$$x=-2y+8$$

Ganti -2y+8 untuk x di persamaan lain, x-2y=2.

$$-2y+8-2y=2$$

Tambahkan -2y sampai -2y.

$$-4y+8=2$$

Kurangi 8 dari kedua sisi persamaan.

$$-4y=-6$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Ganti \frac{3}{2} untuk y dalam x=-2y+8. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+8$$

Kalikan -2 kali \frac{3}{2}.

$$x=-3+8$$

Tambahkan 8 sampai -3.

$$x=5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Kurangi x-2y=2 dari x+2y=8 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$x-x+2y+2y=8-2$$

Tambahkan x sampai -x. Suku x dan -x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$2y+2y=8-2$$

Tambahkan 2y sampai 2y.

$$4y=8-2$$

Tambahkan 8 sampai -2.

$$4y=6$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Ganti \frac{3}{2} untuk y dalam x-2y=2. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x-2\times \frac{3}{2}=2$$

Kalikan -2 kali \frac{3}{2}.

$$x-3=2$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi persamaan.

$$x=5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$