Selesaikan 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Cari nilai n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Kurangi 3n^{2} dari kedua sisi.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Gabungkan 9n^{2} dan -3n^{2} untuk mendapatkan 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sisi kiri dengan mengelompokkan. Pertama, sisi tangan kiri harus ditulis ulang sebagai 6n^{2}+an+bn+20. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diselesaikan.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda yang sama. Karena a+b negatif, a dan b keduanya negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat tersebut yang memberikan 120 produk.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -23.

$$a=-15 b=-8$$

Tulis ulang 6n^{2}-23n+20 sebagai \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Faktor keluar 3n di pertama dan -4 dalam grup kedua.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Faktorkan keluar 2n-5 suku yang sama dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan 2n-5=0 dan 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Kurangi 3n^{2} dari kedua sisi.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Gabungkan 9n^{2} dan -3n^{2} untuk mendapatkan 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 6 dengan a, -23 dengan b, dan 20 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23 kuadrat.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Kalikan -4 kali 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Kalikan -24 kali 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Tambahkan 529 sampai -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ambil akar kuadrat dari 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Kebalikan -23 adalah 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Kalikan 2 kali 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{23±7}{12} jika ± adalah plus. Tambahkan 23 sampai 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Kurangi pecahan \frac{30}{12} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{23±7}{12} jika ± adalah minus. Kurangi 7 dari 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Kurangi pecahan \frac{16}{12} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Kurangi 3n^{2} dari kedua sisi.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Gabungkan 9n^{2} dan -3n^{2} untuk mendapatkan 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Kurangi 20 dari kedua sisi. Jika nol dikurangi bilangan tertentu, akan menghasilkan bilangan negatif dari bilangan tersebut.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Bagi kedua sisi dengan 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Membagi dengan 6 membatalkan perkalian dengan 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Kurangi pecahan \frac{-20}{6} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Bagi -\frac{23}{6}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{23}{12}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{23}{12} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{23}{12} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} ke \frac{529}{144} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktorkan n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c merupakan kuadrat sempurna, faktor ini selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sederhanakan.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Tambahkan \frac{23}{12} ke kedua sisi persamaan.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$