Selesaikan 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Cari nilai x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$5x-2y=1$$

Tambahkan 2y ke kedua sisi persamaan.

$$5x=2y+1$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Kalikan \frac{1}{5} kali 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Ganti \frac{2y+1}{5} untuk x di persamaan lain, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Kalikan 3 kali \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Tambahkan \frac{6y}{5} sampai 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Kurangi \frac{3}{5} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{31}{5}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=2$$

Ganti 2 untuk y dalam x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Kalikan \frac{2}{5} kali 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Tambahkan \frac{1}{5} ke \frac{4}{5} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 3 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Sederhanakan.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Kurangi 15x+25y=65 dari 15x-6y=3 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Tambahkan 15x sampai -15x. Suku 15x dan -15x saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-6y-25y=3-65$$

Tambahkan -6y sampai -25y.

$$-31y=3-65$$

Tambahkan 3 sampai -65.

$$-31y=-62$$

Bagi kedua sisi dengan -31.

$$y=2$$

Ganti 2 untuk y dalam 3x+5y=13. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$3x+5\times 2=13$$

Kalikan 5 kali 2.

$$3x+10=13$$

Kurangi 10 dari kedua sisi persamaan.

$$3x=3$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=2$$