Selesaikan 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Cari nilai x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 5x^{2}+ax+bx-2184. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda berlawanan. Karena a+b negatif, angka negatif memiliki nilai absolut yang lebih besar dari positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=-105 b=104$$

Tulis ulang 5x^{2}-x-2184 sebagai \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Faktor 5x di pertama dan 104 dalam grup kedua.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Factor istilah umum x-21 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan x-21=0 dan 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 5 dengan a, -1 dengan b, dan -2184 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Kalikan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Kalikan -20 kali -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Tambahkan 1 sampai 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Ambil akar kuadrat dari 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Kebalikan -1 adalah 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Kalikan 2 kali 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±209}{10} jika ± adalah plus. Tambahkan 1 sampai 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Bagi 210 dengan 10.

$$x=21$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±209}{10} jika ± adalah minus. Kurangi 209 dari 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Kurangi pecahan \frac{-208}{10} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Tambahkan 2184 ke kedua sisi persamaan.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Mengurangi -2184 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Kurangi -2184 dari 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Membagi dengan 5 membatalkan perkalian dengan 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Bagi -\frac{1}{5}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{10}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{1}{10} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{1}{10} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Tambahkan \frac{2184}{5} ke \frac{1}{100} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktorkan x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Sederhanakan.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Tambahkan \frac{1}{10} ke kedua sisi persamaan.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$