Selesaikan 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Cari nilai x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 5x^{2}+ax+bx-42. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda berlawanan. Karena a+b negatif, angka negatif memiliki nilai absolut yang lebih besar dari positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -29.

$$a=-35 b=6$$

Tulis ulang 5x^{2}-29x-42 sebagai \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Faktor 5x di pertama dan 6 dalam grup kedua.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Factor istilah umum x-7 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan x-7=0 dan 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 5 dengan a, -29 dengan b, dan -42 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-29 kuadrat.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kalikan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kalikan -20 kali -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Tambahkan 841 sampai 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Ambil akar kuadrat dari 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Kebalikan -29 adalah 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Kalikan 2 kali 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{29±41}{10} jika ± adalah plus. Tambahkan 29 sampai 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Bagi 70 dengan 10.

$$x=7$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{29±41}{10} jika ± adalah minus. Kurangi 41 dari 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Kurangi pecahan \frac{-12}{10} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Tambahkan 42 ke kedua sisi persamaan.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Mengurangi -42 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Kurangi -42 dari 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Bagi kedua sisi dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Membagi dengan 5 membatalkan perkalian dengan 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Bagi -\frac{29}{5}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{29}{10}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{29}{10} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{29}{10} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Tambahkan \frac{42}{5} ke \frac{841}{100} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktorkan x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Sederhanakan.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Tambahkan \frac{29}{10} ke kedua sisi persamaan.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$