Selesaikan 49x-57y=172;quad57x-49y=252

$$49 x - 57 y = 172 ; \quad 57 x - 49 y = 252$$

Cari nilai x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$49x-57y=172$$

Tambahkan 57y ke kedua sisi persamaan.

$$49x=57y+172$$

Bagi kedua sisi dengan 49.

$$x=\frac{1}{49}\left(57y+172\right)$$

Kalikan \frac{1}{49} kali 57y+172.

$$x=\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}$$

Ganti \frac{57y+172}{49} untuk x di persamaan lain, 57x-49y=252.

$$57\left(\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}\right)-49y=252$$

Kalikan 57 kali \frac{57y+172}{49}.

$$\frac{3249}{49}y+\frac{9804}{49}-49y=252$$

Tambahkan \frac{3249y}{49} sampai -49y.

$$\frac{848}{49}y+\frac{9804}{49}=252$$

Kurangi \frac{9804}{49} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{848}{49}y=\frac{2544}{49}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{848}{49}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam x=\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{57}{49}\times 3+\frac{172}{49}$$

Kalikan \frac{57}{49} kali 3.

$$x=\frac{171+172}{49}$$

Tambahkan \frac{172}{49} ke \frac{171}{49} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=7$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=7,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}&-\frac{-57}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}\\-\frac{57}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}&\frac{49}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{848}&\frac{57}{848}\\-\frac{57}{848}&\frac{49}{848}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{848}\times 172+\frac{57}{848}\times 252\\-\frac{57}{848}\times 172+\frac{49}{848}\times 252\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=7,y=3$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Untuk menjadikan 49x dan 57x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 57 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 49.

$$57\times 49x+57\left(-57\right)y=57\times 172,49\times 57x+49\left(-49\right)y=49\times 252$$

Sederhanakan.

$$2793x-3249y=9804,2793x-2401y=12348$$

Kurangi 2793x-2401y=12348 dari 2793x-3249y=9804 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$2793x-2793x-3249y+2401y=9804-12348$$

Tambahkan 2793x sampai -2793x. Istilah 2793x dan -2793x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-3249y+2401y=9804-12348$$

Tambahkan -3249y sampai 2401y.

$$-848y=9804-12348$$

Tambahkan 9804 sampai -12348.

$$-848y=-2544$$

Bagi kedua sisi dengan -848.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam 57x-49y=252. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$57x-49\times 3=252$$

Kalikan -49 kali 3.

$$57x-147=252$$

Tambahkan 147 ke kedua sisi persamaan.

$$57x=399$$

Bagi kedua sisi dengan 57.

$$x=7$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=7,y=3$$