Selesaikan 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Cari nilai x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 42x^{2}+ax+bx-3. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda berlawanan. Karena a+b negatif, angka negatif memiliki nilai absolut yang lebih besar dari positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -5.

$$a=-14 b=9$$

Tulis ulang 42x^{2}-5x-3 sebagai \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Faktor 14x di pertama dan 3 dalam grup kedua.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Factor istilah umum 3x-1 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan 3x-1=0 dan 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 42 dengan a, -5 dengan b, dan -3 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5 kuadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kalikan -4 kali 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kalikan -168 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Tambahkan 25 sampai 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Ambil akar kuadrat dari 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Kebalikan -5 adalah 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Kalikan 2 kali 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±23}{84} jika ± adalah plus. Tambahkan 5 sampai 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Kurangi pecahan \frac{28}{84} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{5±23}{84} jika ± adalah minus. Kurangi 23 dari 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Kurangi pecahan \frac{-18}{84} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Tambahkan 3 ke kedua sisi persamaan.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Mengurangi -3 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Kurangi -3 dari 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Bagi kedua sisi dengan 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Membagi dengan 42 membatalkan perkalian dengan 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Kurangi pecahan \frac{3}{42} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Bagi -\frac{5}{42}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{5}{84}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{5}{84} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{5}{84} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Tambahkan \frac{1}{14} ke \frac{25}{7056} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktorkan x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Sederhanakan.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Tambahkan \frac{5}{84} ke kedua sisi persamaan.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$