Selesaikan 4z^2-16z+15=0

$$4 z ^ { 2 } - 16 z + 15 = 0$$

Cari nilai z

$$z = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$z = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 4z^{2}+az+bz+15. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-16 ab=4\times 15=60$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda sama. Karena a+b negatif, a dan b keduanya negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -16.

$$a=-10 b=-6$$

Tulis ulang 4z^{2}-16z+15 sebagai \left(4z^{2}-10z\right)+\left(-6z+15\right).

$$\left(4z^{2}-10z\right)+\left(-6z+15\right)$$

Faktor 2z di pertama dan -3 dalam grup kedua.

$$2z\left(2z-5\right)-3\left(2z-5\right)$$

Factor istilah umum 2z-5 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(2z-5\right)\left(2z-3\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan 2z-5=0 dan 2z-3=0.

$$z=\frac{5}{2} z=\frac{3}{2}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$4z^{2}-16z+15=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 4 dengan a, -16 dengan b, dan 15 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

-16 kuadrat.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

Kalikan -4 kali 4.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 15}}{2\times 4}$$

Kalikan -16 kali 15.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 4}$$

Tambahkan 256 sampai -240.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Ambil akar kuadrat dari 16.

$$z=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 4}$$

Kebalikan -16 adalah 16.

$$z=\frac{16±4}{2\times 4}$$

Kalikan 2 kali 4.

$$z=\frac{16±4}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{16±4}{8} jika ± adalah plus. Tambahkan 16 sampai 4.

$$z=\frac{20}{8}$$

Kurangi pecahan \frac{20}{8} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 4.

$$z=\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan z=\frac{16±4}{8} jika ± adalah minus. Kurangi 4 dari 16.

$$z=\frac{12}{8}$$

Kurangi pecahan \frac{12}{8} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 4.

$$z=\frac{3}{2}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$z=\frac{5}{2} z=\frac{3}{2}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}-16z+15=0$$

Kurangi 15 dari kedua sisi persamaan.

$$4z^{2}-16z+15-15=-15$$

Mengurangi 15 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$4z^{2}-16z=-15$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$\frac{4z^{2}-16z}{4}=-\frac{15}{4}$$

Membagi dengan 4 membatalkan perkalian dengan 4.

$$z^{2}+\left(-\frac{16}{4}\right)z=-\frac{15}{4}$$

Bagi -16 dengan 4.

$$z^{2}-4z=-\frac{15}{4}$$

Bagi -4, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -2. Lalu tambahkan kuadrat dari -2 ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$z^{2}-4z+\left(-2\right)^{2}=-\frac{15}{4}+\left(-2\right)^{2}$$

-2 kuadrat.

$$z^{2}-4z+4=-\frac{15}{4}+4$$

Tambahkan -\frac{15}{4} sampai 4.

$$z^{2}-4z+4=\frac{1}{4}$$

Faktorkan z^{2}-4z+4. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-2\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(z-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sederhanakan.

$$z-2=\frac{1}{2} z-2=-\frac{1}{2}$$

Tambahkan 2 ke kedua sisi persamaan.

$$z=\frac{5}{2} z=\frac{3}{2}$$