Selesaikan 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Cari nilai x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x-y=5$$

Tambahkan y ke kedua sisi persamaan.

$$4x=y+5$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Ganti \frac{5+y}{4} untuk x di persamaan lain, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Kalikan -4 kali \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Tambahkan -y sampai 5y.

$$4y-5=7$$

Tambahkan 5 ke kedua sisi persamaan.

$$4y=12$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Kalikan \frac{1}{4} kali 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} ke \frac{3}{4} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Untuk menjadikan 4x dan -4x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan -4 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Sederhanakan.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Kurangi -16x+20y=28 dari -16x+4y=-20 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Tambahkan -16x sampai 16x. Istilah -16x dan 16x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$4y-20y=-20-28$$

Tambahkan 4y sampai -20y.

$$-16y=-20-28$$

Tambahkan -20 sampai -28.

$$-16y=-48$$

Bagi kedua sisi dengan -16.

$$y=3$$

Ganti 3 untuk y dalam -4x+5y=7. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$-4x+5\times 3=7$$

Kalikan 5 kali 3.

$$-4x+15=7$$

Kurangi 15 dari kedua sisi persamaan.

$$-4x=-8$$

Bagi kedua sisi dengan -4.

$$x=2$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=2,y=3$$