Selesaikan 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Cari nilai x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x-5y=2$$

Tambahkan 5y ke kedua sisi persamaan.

$$4x=5y+2$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ganti \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} untuk x di persamaan lain, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Tambahkan \frac{5y}{4} sampai 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Kurangi \frac{1}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{45}{4}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=\frac{18}{5}$$

Ganti \frac{18}{5} untuk y dalam x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Kalikan \frac{5}{4} kali \frac{18}{5} dengan mengalikan bilangan pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} ke \frac{9}{2} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Untuk menjadikan 4x dan x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Sederhanakan.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Kurangi 4x+40y=164 dari 4x-5y=2 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Tambahkan 4x sampai -4x. Istilah 4x dan -4x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-5y-40y=2-164$$

Tambahkan -5y sampai -40y.

$$-45y=2-164$$

Tambahkan 2 sampai -164.

$$-45y=-162$$

Bagi kedua sisi dengan -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Ganti \frac{18}{5} untuk y dalam x+10y=41. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Kalikan 10 kali \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Kurangi 36 dari kedua sisi persamaan.

$$x=5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$