Selesaikan 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Cari nilai x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x-5y=-14$$

Tambahkan 5y ke kedua sisi persamaan.

$$4x=5y-14$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Ganti \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} untuk x di persamaan lain, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Kalikan 7 kali \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Tambahkan \frac{35y}{4} sampai y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Tambahkan \frac{49}{2} ke kedua sisi persamaan.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{39}{4}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=2$$

Ganti 2 untuk y dalam x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Kalikan \frac{5}{4} kali 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Tambahkan -\frac{7}{2} ke \frac{5}{2} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-1,y=2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Untuk menjadikan 4x dan 7x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 7 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Sederhanakan.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Kurangi 28x+4y=-20 dari 28x-35y=-98 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Tambahkan 28x sampai -28x. Istilah 28x dan -28x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-35y-4y=-98+20$$

Tambahkan -35y sampai -4y.

$$-39y=-98+20$$

Tambahkan -98 sampai 20.

$$-39y=-78$$

Bagi kedua sisi dengan -39.

$$y=2$$

Ganti 2 untuk y dalam 7x+y=-5. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$7x+2=-5$$

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan.

$$7x=-7$$

Bagi kedua sisi dengan 7.

$$x=-1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1,y=2$$