Selesaikan 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Cari nilai x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x-3y=2$$

Tambahkan 3y ke kedua sisi persamaan.

$$4x=3y+2$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ganti \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} untuk x di persamaan lain, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Tambahkan \frac{3y}{4} sampai 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Kurangi \frac{1}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{23}{4}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=-2$$

Ganti -2 untuk y dalam x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Kalikan \frac{3}{4} kali -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} ke -\frac{3}{2} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Untuk menjadikan 4x dan x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Sederhanakan.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Kurangi 4x+20y=-44 dari 4x-3y=2 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Tambahkan 4x sampai -4x. Istilah 4x dan -4x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-3y-20y=2+44$$

Tambahkan -3y sampai -20y.

$$-23y=2+44$$

Tambahkan 2 sampai 44.

$$-23y=46$$

Bagi kedua sisi dengan -23.

$$y=-2$$

Ganti -2 untuk y dalam x+5y=-11. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Kalikan 5 kali -2.

$$x-10=-11$$

Tambahkan 10 ke kedua sisi persamaan.

$$x=-1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1,y=-2$$