Selesaikan 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Cari nilai n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Kurangi 11 dari kedua sisi.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sisi kiri dengan mengelompokkan. Pertama, sisi tangan kiri harus ditulis ulang sebagai 4n^{2}+an+bn-11. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diselesaikan.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda yang berlawanan. Karena a+b negatif, angka negatif memiliki nilai absolut yang lebih besar daripada yang positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat tersebut yang memberikan -44 produk.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -7.

$$a=-11 b=4$$

Tulis ulang 4n^{2}-7n-11 sebagai \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Faktorkann dalam 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Faktorkan keluar 4n-11 suku yang sama dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan 4n-11=0 dan n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$4n^{2}-7n=11$$

Kurangi 11 dari kedua sisi persamaan.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Mengurangi 11 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 4 dengan a, -7 dengan b, dan -11 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7 kuadrat.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kalikan -4 kali 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kalikan -16 kali -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Tambahkan 49 sampai 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ambil akar kuadrat dari 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Kebalikan -7 adalah 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Kalikan 2 kali 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{7±15}{8} jika ± adalah plus. Tambahkan 7 sampai 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Kurangi pecahan \frac{22}{8} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{7±15}{8} jika ± adalah minus. Kurangi 15 dari 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Bagi -8 dengan 8.

$$n=-1$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Membagi dengan 4 membatalkan perkalian dengan 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Bagi -\frac{7}{4}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{7}{8}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{7}{8} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{7}{8} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Tambahkan \frac{11}{4} ke \frac{49}{64} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktorkan n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c merupakan kuadrat sempurna, faktor ini selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sederhanakan.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Tambahkan \frac{7}{8} ke kedua sisi persamaan.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$