Selesaikan 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Cari nilai x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 4x^{2}+ax+bx-15. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda berlawanan. Karena a+b negatif, angka negatif memiliki nilai absolut yang lebih besar dari positif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -4.

$$a=-10 b=6$$

Tulis ulang 4x^{2}-4x-15 sebagai \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Faktor 2x di pertama dan 3 dalam grup kedua.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Factor istilah umum 2x-5 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan 2x-5=0 dan 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 4 dengan a, -4 dengan b, dan -15 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 kuadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kalikan -4 kali 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kalikan -16 kali -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Tambahkan 16 sampai 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Ambil akar kuadrat dari 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Kebalikan -4 adalah 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Kalikan 2 kali 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±16}{8} jika ± adalah plus. Tambahkan 4 sampai 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Kurangi pecahan \frac{20}{8} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{4±16}{8} jika ± adalah minus. Kurangi 16 dari 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Kurangi pecahan \frac{-12}{8} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Tambahkan 15 ke kedua sisi persamaan.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Mengurangi -15 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Kurangi -15 dari 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Membagi dengan 4 membatalkan perkalian dengan 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Bagi -4 dengan 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Bagi -1, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{1}{2} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{1}{2} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Tambahkan \frac{15}{4} ke \frac{1}{4} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Faktorkan x^{2}-x+\frac{1}{4}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sederhanakan.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Tambahkan \frac{1}{2} ke kedua sisi persamaan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$