Selesaikan 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

Cari nilai y

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 3y^{2}+ay+by+10. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda sama. Karena a+b negatif, a dan b keduanya negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -11.

$$a=-6 b=-5$$

Tulis ulang 3y^{2}-11y+10 sebagai \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

Faktor 3y di pertama dan -5 dalam grup kedua.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

Factor istilah umum y-2 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan y-2=0 dan 3y-5=0.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 3 dengan a, -11 dengan b, dan 10 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-11 kuadrat.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Kalikan -4 kali 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

Kalikan -12 kali 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

Tambahkan 121 sampai -120.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ambil akar kuadrat dari 1.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

Kebalikan -11 adalah 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

Kalikan 2 kali 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{11±1}{6} jika ± adalah plus. Tambahkan 11 sampai 1.

$$y=\frac{12}{6}$$

Bagi 12 dengan 6.

$$y=2$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{11±1}{6} jika ± adalah minus. Kurangi 1 dari 11.

$$y=\frac{10}{6}$$

Kurangi pecahan \frac{10}{6} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 2.

$$y=\frac{5}{3}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Kurangi 10 dari kedua sisi persamaan.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

Mengurangi 10 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

Membagi dengan 3 membatalkan perkalian dengan 3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Bagi -\frac{11}{3}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{6}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{11}{6} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{11}{6} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Tambahkan -\frac{10}{3} ke \frac{121}{36} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktorkan y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Sederhanakan.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Tambahkan \frac{11}{6} ke kedua sisi persamaan.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$