Selesaikan 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Cari nilai x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$3x-y=2$$

Tambahkan y ke kedua sisi persamaan.

$$3x=y+2$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Kalikan \frac{1}{3} kali y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Ganti \frac{2+y}{3} untuk x di persamaan lain, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Kalikan 2 kali \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Tambahkan \frac{2y}{3} sampai -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Kurangi \frac{4}{3} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Kalikan kedua sisi dengan -3.

$$y=-5$$

Ganti -5 untuk y dalam x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Kalikan \frac{1}{3} kali -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} ke -\frac{5}{3} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1,y=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sehingga persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai masalah perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-1,y=-5$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Kurangi 2x-y=3 dari 3x-y=2 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Tambahkan -y sampai y. Suku -y dan y saling membatalkan, meninggalkan sebuah persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$3x-2x=2-3$$

Tambahkan 3x sampai -2x.

$$x=2-3$$

Tambahkan 2 sampai -3.

$$x=-1$$

Ganti -1 untuk x dalam 2x-y=3. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan y secara langsung.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Kalikan 2 kali -1.

$$-2-y=3$$

Tambahkan 2 ke kedua sisi persamaan.

$$-y=5$$

Bagi kedua sisi dengan -1.

$$y=-5$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-1,y=-5$$